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<!DOCTYPE html>

<title>Banachalgebra</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Banachalgebra</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Banachalgebren (nach <a href="Stefan_Banach" title="Stefan Banach">Stefan Banach</a>) sind mathematische Objekte der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a>, die einige bekannte <a href="Funktionenraum" title="Funktionenraum">Funktionenräume</a> und <a href="Operatoralgebra" title="Operatoralgebra">Operatorenalgebren</a> anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern, z. B. Räume <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetiger</a> oder <a href="Integrierbare_Funktion" class="mw-redirect" title="Integrierbare Funktion">integrierbarer</a> Funktionen oder Algebren stetiger <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearer Operatoren</a> auf <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachräumen</a>.

Eine Banachalgebra ist ein <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a>, in dem zusätzlich auch eine Multiplikation und eine <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a> so definiert sind, dass gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Ein <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {A}},+)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {A}},+)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58e3b27e2962538b0c9e94c0721df92586603b08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {A}},+)}" loading="lazy"> über dem <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aaa0cac96c9853f0cba61605679cf8963983b5d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.585ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen</a> oder <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> mit einer <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\|\cdot \right\|}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\|\cdot \right\|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/241e211725cfe4478a7d07adcec157ad892a9455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\|\cdot \right\|}" loading="lazy"> und einem <a href="Produkt_(Mathematik)" title="Produkt (Mathematik)">Produkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \circ \colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \circ \colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c584a3326919e88bbfde75af43fde0a712baadb1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.361ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \circ \colon {\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}" loading="lazy"> ist eine Banachalgebra, wenn gilt:

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\left\|\cdot \right\|)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b48f7e78a8477dc90ed480c2f22e443e5f610ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\left\|\cdot \right\|)}" loading="lazy"> ist ein <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>, also ein <a href="Vollst%C3%A4ndiger_Raum" title="Vollständiger Raum">vollständiger</a> <a href="Normierter_Raum" title="Normierter Raum">normierter Vektorraum</a>,</li>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\circ )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2353d180d502ed80bbd1cfbf065c9e857c38644f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.751ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\circ )}" loading="lazy"> ist eine assoziative <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }" loading="lazy">-<a href="Algebra_(Struktur)" class="mw-redirect" title="Algebra (Struktur)">Algebra</a>,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\circ B\|\leq \|A\|\cdot \|B\|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3b9ebd4ea52836555e7c9853dbcf23b1804b794.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.961ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\circ B\|\leq \|A\|\cdot \|B\|}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4421a5a8038b5bc216ecd10ffaff12028c22fbae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.285ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}" loading="lazy">, d. h. die Norm ist <a href="Submultiplikativit%C3%A4t" title="Submultiplikativität">submultiplikativ</a>.</li></ul>

Wie auch in der Algebra allgemein üblich wird das Symbol für das Produkt gern weggelassen, nur im Falle der <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a> wird oft das Symbol <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9972f426d9e07855984f73ee195a21dbc21755.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle *}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \star }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \star }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd316a21eeb5079a850f223b1d096a06bfa788c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.035ex; margin-bottom: -0.206ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\displaystyle \star }" loading="lazy"> verwendet.

Verlangt man von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\left\|\cdot \right\|)}">

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\left\|\cdot \right\|)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b48f7e78a8477dc90ed480c2f22e443e5f610ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.56ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {A}},+,\left\|\cdot \right\|)}" loading="lazy"> nur, dass es sich um einen normierten Raum handelt, das heißt, man verzichtet auf die Vollständigkeit, so erhält man den allgemeineren Begriff der <a href="Normierte_Algebra" title="Normierte Algebra">normierten Algebra</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Klassen_von_Banachalgebren">Spezielle Klassen von Banachalgebren</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Banach-*-Algebra_oder_involutive_Banachalgebra">Banach-*-Algebra oder involutive Banachalgebra</h3></div>

Eine Banach-*-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}" loading="lazy"> (über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">) ist eine Banachalgebra über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> zusammen mit einer <a href="Involution_(Mathematik)" title="Involution (Mathematik)">Involution</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ^{*}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},\,a\mapsto a^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ^{*}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},\,a\mapsto a^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9673124e5c88b21c018b30871e5e203de61ad8e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.058ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle ^{*}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},\,a\mapsto a^{*}}" loading="lazy">, so dass

<td>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:(a^{*})^{*}=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fae68affc03f39af79b96ad4415d58f18c69e72f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.679ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:(a^{*})^{*}=a}" loading="lazy"></li></ul>

</td>

<td>(involutiv)

</td></tr>

<tr>

<td>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:(ab)^{*}=b^{*}a^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/709921dfac04ba6e0d5ea2d98f72df9f08e69f2c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.76ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:(ab)^{*}=b^{*}a^{*}}" loading="lazy"></li></ul>

</td>

<td>(anti-multiplikativ)

</td></tr>

<tr>

<td>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:\forall z,w\in \mathbb {C} :(za+wb)^{*}={\bar {z}}a^{*}+{\bar {w}}b^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b8463909ea11d71dd02b0ebdaa9543fc5021b20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:46.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a,b\in {\mathcal {A}}:\forall z,w\in \mathbb {C} :(za+wb)^{*}={\bar {z}}a^{*}+{\bar {w}}b^{*}}" loading="lazy">    </li></ul>

</td>

<td>(semilinear, anti-linear oder <a href="Komplexe_Zahl#Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Zahl">konjugiert</a> linear)

</td></tr>

<tr>

<td>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:\|a\|=\|a^{*}\|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/869cdcf612aab826d683cd1259dee96b23d6f35f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}:\|a\|=\|a^{*}\|}" loading="lazy"></li></ul>

</td>

<td>(isometrisch)

</td></tr></tbody></table>

In anderen Worten, eine Banach-*-Algebra ist eine Banachalgebra und zugleich eine *-Algebra mit einer isometrischen Involution. Manche Autoren lassen die Bedingung der Isometrie fort und sprechen dann gegebenenfalls von einer Banach-*-Algebra mit isometrischer Involution. Die meisten in natürlicher Weise auftretenden Involutionen auf Banachalgebren sind allerdings isometrisch.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="C*-Algebren_und_Von-Neumann-Algebren">C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="C*-Algebra" title="C*-Algebra">C*-Algebra</a> und <a href="Von-Neumann-Algebra" title="Von-Neumann-Algebra">Von-Neumann-Algebra</a></div>

Die Banachalgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(H)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(H)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db87fc6eb85eaaaca37af02c2de73bf560157f7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.637ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(H)}" loading="lazy"> der stetigen <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearen Operatoren</a> über einem <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> motiviert die folgende Definition:

Eine Banachalgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}" loading="lazy">, auf der zusätzlich eine semilineare antimultiplikative Involution <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle *\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},x\mapsto x^{*}}">

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle *\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},x\mapsto x^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2957b90040d696b2a0d290e2e1791c593e011072.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.979ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle *\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},x\mapsto x^{*}}" loading="lazy"> gegeben ist, heißt <a href="C*-Algebra" title="C*-Algebra">C*-Algebra</a>, wenn die sogenannte C*-Bedingung erfüllt ist:

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fd31b4c56fc14c312650abb73b884909d7ec52c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.846ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|^{2}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/277eee6528cde4b8ca0987644dd8314298c91585.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.074ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}" loading="lazy"></li></ul>

Solche Banachalgebren lassen sich auf <a href="Hilbertraum-Darstellung" title="Hilbertraum-Darstellung">Hilberträumen darstellen</a>. Sind diese dann in einer gewissen Topologie in der <a href="Operatoralgebra" title="Operatoralgebra">Operatorenalgebra</a> über dem Hilbertraum <a href="Abgeschlossene_Menge" title="Abgeschlossene Menge">abgeschlossen</a>, so nennt man sie <a href="Von-Neumann-Algebra" title="Von-Neumann-Algebra">Von-Neumann-Algebren</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Jeder Banachraum wird mit der Null-Multiplikation, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c72eb345e496513fb8b2fa4aa8c4d89b855f9a01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.485ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy}" loading="lazy">=0 für alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}" loading="lazy"> des Banachraums, zu einer Banachalgebra.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ein <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakter Raum</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}(K)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}(K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de4f2fab11da8757bfdf06a967be17fcb52ac01e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}(K)}" loading="lazy"> der Raum der stetigen Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d1dd5e865f7213404b5f20b6b892699f0314b8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.671ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} }" loading="lazy">. Mit den punktweisen Operationen und der durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{*}(x):={\overline {f(x)}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{*}(x):={\overline {f(x)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3caf3530ee03469afb81b995c9cad0b470503492.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.792ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle f^{*}(x):={\overline {f(x)}}}" loading="lazy"> (<a href="Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Konjugation">komplexe Konjugation</a>) definierten Involution und der Supremumsnorm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|:=\sup _{x\in K}|f(x)|}">

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|:=\sup _{x\in K}|f(x)|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8412a469366e617d22f72adef390b665ceda0dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.948ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \|f\|:=\sup _{x\in K}|f(x)|}" loading="lazy"> wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {C}}(K)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {C}}(K)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de4f2fab11da8757bfdf06a967be17fcb52ac01e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.114ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {C}}(K)}" loading="lazy"> zu einer kommutativen C*-Algebra. Ebenso lassen sich der Raum der <a href="Beschr%C3%A4nkte_Funktion" class="mw-redirect" title="Beschränkte Funktion">beschränkten</a> <a href="Komplexwertige_Funktion" title="Komplexwertige Funktion">komplexwertigen Funktionen</a> auf einem <a href="Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen Raum</a> (was mittels der <a href="Stone-%C4%8Cech-Kompaktifizierung" title="Stone-Čech-Kompaktifizierung">Stone-Čech-Kompaktifizierung</a> gleichwertig ist) oder der Raum der <a href="C0-Funktion" title="C0-Funktion">C0-Funktionen</a>, der stetigen Funktionen auf einem <a href="Lokalkompakter_Raum" title="Lokalkompakter Raum">lokalkompakten Raum</a>, die im Unendlichen verschwinden, betrachten.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> der Einheitskreis in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">. Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(D)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(D)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e74e4230535c668fa1fbcdc9127ba7288bb6d62f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(D)}" loading="lazy"> die Algebra mit stetigen Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0aa987fddd180b13b032cb4d2d90ef288eb20697.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.529ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }" loading="lazy">, die im <a href="Innerer_Punkt" title="Innerer Punkt">Inneren</a> von D <a href="Holomorphie" class="mw-redirect" title="Holomorphie">holomorph</a> sind. Mit den punktweisen Operationen und der durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{*}(z):={\overline {f({\overline {z}})}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{*}(z):={\overline {f({\overline {z}})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35926f3a996ff3cff38f0b8313920289209d7442.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.428ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle f^{*}(z):={\overline {f({\overline {z}})}}}" loading="lazy"> (<a href="Komplexe_Konjugation" title="Komplexe Konjugation">komplexe Konjugation</a>) definierten Involution und der Supremumsnorm wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(D)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(D)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e74e4230535c668fa1fbcdc9127ba7288bb6d62f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A(D)}" loading="lazy"> zu einer kommutativen Banach-*-Algebra, die keine C*-Algebra ist. Diese Banachalgebra nennt man auch die <a href="Diskalgebra" title="Diskalgebra">Diskalgebra</a>.</li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ein Banachraum, so ist die Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(V)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3240b15b8d5cc8b968454438e642b397e0f4414c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.361ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(V)}" loading="lazy"> der stetigen, <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">linearen Operatoren</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> eine Banachalgebra, die im Falle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \dim V>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \dim V>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feff247757488dfda2768e5b2e87ccccb299411f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \dim V>1}" loading="lazy"> nicht kommutativ ist. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> ein <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(V)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(V)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3240b15b8d5cc8b968454438e642b397e0f4414c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.361ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(V)}" loading="lazy"> eine C*-Algebra.</li></ul>

<ul><li>Die <a href="Spurklasse" class="mw-redirect" title="Spurklasse">Spurklasse</a> und die <a href="Hilbert-Schmidt-Klasse" class="mw-redirect" title="Hilbert-Schmidt-Klasse">Hilbert-Schmidt-Klasse</a>, oder allgemeiner die <a href="Schatten-Klasse" title="Schatten-Klasse">Schatten-Klassen</a>, sind Beispiele für nicht-kommutative Banach-*-Algebren, die keine C*-Algebren sind.</li></ul>

<ul><li>In der <a href="Harmonische_Analyse" title="Harmonische Analyse">harmonischen Analyse</a> werden die Banach-*-Algebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{1}(G)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{1}(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e10e36f941f2b8fec8f9c058ebefd8ac69609b97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.273ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{1}(G)}" loading="lazy">, das heißt die <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltungsalgebren</a> über einer <a href="Lokalkompakte_Gruppe" title="Lokalkompakte Gruppe">lokalkompakten Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> betrachtet.</li></ul>

<ul><li><a href="H*-Algebra" title="H*-Algebra">H*-Algebren</a> sind involutive Banachalgebren, die gleichzeitig Hilberträume sind, zusammen mit einer Zusatzbedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundlagen">Grundlagen</h2></div>

Es werden einige Grundlagen der Theorie der Banachalgebren besprochen, die ein Zusammenspiel zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften zeigen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_Einselement">Das Einselement</h3></div>

Viele der oben genannten Beispiele sind Banachalgebren ohne ein <a href="Einselement" class="mw-redirect" title="Einselement">Einselement</a>.

Wird dennoch ein Einselement benötigt, so kann man eines <a href="Adjunktion_(Einselement)" title="Adjunktion (Einselement)">adjungieren</a>.

In vielen Fällen gibt es in diesen Banachalgebren <a href="Approximation_der_Eins" title="Approximation der Eins">Approximationen der Eins</a>; dies ist ein topologisches Konstrukt, das oft einen Ersatz für das fehlende Einselement darstellt.

Das gilt insbesondere für C*-Algebren und die Gruppenalgebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{1}(G)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{1}(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e10e36f941f2b8fec8f9c058ebefd8ac69609b97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.273ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{1}(G)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Gruppe_der_invertierbaren_Elemente">Die Gruppe der invertierbaren Elemente</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{\times }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{\times }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d75f91c304bfaa85e395c63566d7c05146057041.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.254ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A^{\times }}" loading="lazy"> der invertierbaren Elemente <a href="Offene_Menge" title="Offene Menge">offen</a>. Ist nämlich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26329067b4b3630a2bb6f7e6b3ee367b70918371.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.581ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\in A}" loading="lazy"> invertierbar und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.814ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in A}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|a-b\|<{\tfrac {1}{\|b^{-1}\|}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|a-b\|<{\tfrac {1}{\|b^{-1}\|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51d529ab3d6618352d21112bee285a6be7e32afd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.546ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle \|a-b\|<{\tfrac {1}{\|b^{-1}\|}}}" loading="lazy">, so ist auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> invertierbar, denn leicht überlegt man sich, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }((b-a)b^{-1})^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }((b-a)b^{-1})^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec6660f4bf3f7001a314092f97f83f4b498091a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:22.725ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }((b-a)b^{-1})^{n}}" loading="lazy"> konvergiert und das Inverse zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> ist. Ferner ist das Invertieren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mapsto a^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mapsto a^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e90e11f38cbf613dbd57c32a51905d8d162f0a4c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.406ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\mapsto a^{-1}}" loading="lazy"> als Abbildung auf der Gruppe der invertierbaren Elemente stetig. Daher ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{\times }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{\times }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d75f91c304bfaa85e395c63566d7c05146057041.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.254ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A^{\times }}" loading="lazy"> eine <a href="Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Gruppe</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_Spektrum">Das Spektrum</h3></div>

In der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a> spielt die Menge der <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerte</a> einer Matrix eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Matrizen, d. h. der Elemente der Banachalgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B({\mathbb {K} }^{n})}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B({\mathbb {K} }^{n})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7f1a2428b602e3511aa99b20c065d97b0672e42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.6ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B({\mathbb {K} }^{n})}" loading="lazy">.

Dies verallgemeinert sich zum Begriff des Spektrums:

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">-Banachalgebra mit Einselement.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.814ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in A}" loading="lazy"> ist das <a href="Spektrum_(Operatortheorie)" title="Spektrum (Operatortheorie)">Spektrum</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (a):=\{\lambda \in {\mathbb {C} }:a-\lambda \cdot 1\notin A^{\times }\}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (a):=\{\lambda \in {\mathbb {C} }:a-\lambda \cdot 1\notin A^{\times }\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e482c6af550dfb588e40b8dee66877f260040187.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.612ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (a):=\{\lambda \in {\mathbb {C} }:a-\lambda \cdot 1\notin A^{\times }\}}" loading="lazy">, <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakt</a> und nach dem <a href="Satz_von_Gelfand-Mazur" title="Satz von Gelfand-Mazur">Satz von Gelfand-Mazur</a> nicht leer. Für den Spektralradius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(a):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (a)\}}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(a):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (a)\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51ef0fff6691c17d7f3cd92775fd3d11dbd67821.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(a):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (a)\}}" loading="lazy"> gilt die Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle r(a)=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{1/n}}">

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle r(a)=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{1/n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/879affb0ce622630b89178532105da128874d099.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.943ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle r(a)=\lim _{n\to \infty }\|a^{n}\|^{1/n}}" loading="lazy">.

Diese Formel ist erstaunlich, da der Spektralradius eine rein algebraische Größe ist, die lediglich den Begriff der Invertierbarkeit verwendet, die rechte Seite der Spektralradiusformel hingegen ist durch die Norm der Banachalgebra gegeben.

Für den Rest dieses Abschnitts sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> kommutativ mit Einselement. Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c3b750756d33b2e60efd90c59a059d0dae129cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.389ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{A}}" loading="lazy"> aller multiplikativen <a href="Funktional" title="Funktional">Funktionale</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\to \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd5df94b46dbadec5eb62e5ab2df03c84eed1cb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.035ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\to \mathbb {C} }" loading="lazy"> bezeichnet man als das Spektrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, oder nach <a href="Israel_Gelfand" class="mw-redirect" title="Israel Gelfand">Gelfand</a> auch als Gelfand-Spektrum oder Gelfand-Raum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Das Spektrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist mit der <a href="Teilraumtopologie" title="Teilraumtopologie">relativen</a> <a href="Schwach-*-Topologie" title="Schwach-*-Topologie">schwach-*-Topologie</a> ein kompakter Raum und die <a href="Gelfand-Transformation" title="Gelfand-Transformation">Gelfand-Transformation</a> vermittelt einen Homomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow C(X_{A})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow C(X_{A})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bda3a2f2cbfe0242fb0843ff9cb8dec8f1c52ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.322ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow C(X_{A})}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> in die Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c3b750756d33b2e60efd90c59a059d0dae129cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.389ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{A}}" loading="lazy">. Jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.814ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in A}" loading="lazy"> wird so eine stetige Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}\colon X_{A}\to \mathbb {C} }">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}\colon X_{A}\to \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94da6330e595d457ab10e62941ebb0787a063a49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.945ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}\colon X_{A}\to \mathbb {C} }" loading="lazy"> zugeordnet, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {a}}(\varphi )=\varphi (a)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {a}}(\varphi )=\varphi (a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b2a8c258888ae801eeaa6f7c04724c2b494ae88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.217ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {a}}(\varphi )=\varphi (a)}" loading="lazy">. Das Spektrum eines Elementes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\in A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\in A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.814ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle a\in A}" loading="lazy"> und das Spektrum der Algebra hängen dann über die Formel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (a)={\hat {a}}(X_{A})}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (a)={\hat {a}}(X_{A})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d4cacdaeb9355597b250146764e19a61cef78c7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.895ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (a)={\hat {a}}(X_{A})}" loading="lazy"> zusammen. Das ist im Artikel über die Gelfand-Transformation ausgeführt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Maximale_Ideale">Maximale Ideale</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine kommutative <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">-Banachalgebra mit Einselement.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \in X_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \in X_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e53c4ac9d5bc84b23c327dc85ddb0b7849700355.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.75ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi \in X_{A}}" loading="lazy">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ker(\varphi )\subset A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ker(\varphi )\subset A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e84d47f88732b76bfbbafd6f375d3932d1d2e702.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ker(\varphi )\subset A}" loading="lazy"> ein maximales <a href="Idealoperator" title="Idealoperator">Ideal</a> (mit <a href="Kodimension" title="Kodimension">Kodimension</a> 1).

Ist umgekehrt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M\subset A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M\subset A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13355dddf228541219705a31b943d8042e45b568.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.284ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M\subset A}" loading="lazy"> ein maximales Ideal, so ist der Abschluss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {M}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {M}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0e2d2cef85c7247cc507120eb8980b6f2714591.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.68ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {M}}}" loading="lazy"> wegen der Offenheit der Gruppe der invertierbaren Elemente ein echtes Ideal, also muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {M}}=M}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {M}}=M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0710229995565ef26c49e4290c716bf4e1561626.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.22ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {M}}=M}" loading="lazy"> gelten.

Dann ist die Quotientenalgebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A/M}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A/M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42317ad001a9c394b804fa8c662f86f5fa8135a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.348ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A/M}" loading="lazy"> eine Banachalgebra, die ein <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> ist, und dieser muss nach dem <a href="Satz_von_Gelfand-Mazur" title="Satz von Gelfand-Mazur">Satz von Gelfand-Mazur</a> isomorph zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> sein. Daher ist die <a href="Quotientenabbildung" title="Quotientenabbildung">Quotientenabbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow A/M\cong \mathbb {C} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow A/M\cong \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fa9550e6a5b42208a83aa0549e46a72146f507c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.481ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow A/M\cong \mathbb {C} }" loading="lazy"> ein multiplikatives Funktional mit Kern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">.

Bezeichnet man also die Menge der maximalen Ideale mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Max} (A)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Max} (A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/70571c9605cb06c5372bd6e9af7ec5750c3d6a92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.073ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Max} (A)}" loading="lazy">, so hat man eine bijektive Abbildung:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{A}\to \operatorname {Max} (A),\,\,\,\varphi \mapsto \ker(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ad7f16ab12702fe4ae21a113c947e8c30081d96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.907ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{A}\to \operatorname {Max} (A),\,\,\,\varphi \mapsto \ker(\varphi )}" loading="lazy">

Es besteht damit eine bijektive Beziehung zwischen der Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{A}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{A}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c3b750756d33b2e60efd90c59a059d0dae129cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.389ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{A}}" loading="lazy"> des Dualraums und der rein algebraisch definierten Menge der maximalen Ideale.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<ul><li>Anwendung finden Banachalgebren u. a. in der <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">Operatorentheorie</a>, wie sie z. B. in der Quantenfeldtheorie benutzt wird.</li>

<li>Ferner gibt es die Erweiterung zu Von-Neumann-Algebren und Hilbert-Moduln und der abstrakten <a href="K-Theorie_von_Banachalgebren" title="K-Theorie von Banachalgebren">K-</a> und <a href="KK-Theorie" title="KK-Theorie">KK-Theorie</a>, welche auch als <a href="Nichtkommutative_Geometrie" title="Nichtkommutative Geometrie">nichtkommutative Geometrie</a> bezeichnet wird.</li>

<li>Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen zieht man in der harmonischen Analyse die Banachalgebren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{1}(G)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{1}(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e10e36f941f2b8fec8f9c058ebefd8ac69609b97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.273ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{1}(G)}" loading="lazy"> und die <a href="Gruppen-C*-Algebra" title="Gruppen-C*-Algebra">Gruppen-C*-Algebren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{*}(G)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{*}(G)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e0288cbb1add8aa5d57df49c58c0dc5bc61d457.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.488ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle C^{*}(G)}" loading="lazy"> heran.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Frank_Bonsall" title="Frank Bonsall">F. F. Bonsall</a>, J. Duncan: Complete Normed Algebras (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. NF Bd. 80). Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-06386-2.</li>

<li><a href="Richard_Kadison" title="Richard Kadison">Richard V. Kadison</a>, <a href="John_Ringrose" title="John Ringrose">John R. Ringrose</a>: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics.Academic Press, New York NY u. a.;

<ul><li>Band 1: Elementary Theory (= Pure and applied mathematics. Vol. 100, 1). 1983, ISBN 0-12-393301-3;</li>

<li>Band 2: Advanced Theory (= Pure and applied mathematics. Vol. 100, 2). 1986, ISBN 0-12-393302-1.</li></ul></li>

<li>Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90391-7 (2nd printing of the 1st edition. (= Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 124 = Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Operator Algebras and Non-Commutative Geometry. Vol. 5). Springer, New York u. a. 2002, ISBN 3-540-42248-X).</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>